Gry na fortepianie, kompozycji i dyrygentury uczył się w Rejkiawiku. Studia w zakresie dyrygentury orkiestrowej kontynuował na uniwersytecie we Fryburgu Bryzgowijskim, które ukończył roku 2007 z wyróżnieniem.
Jest pierwszym dyrygentem i dyrektorem artystycznym Isafold Chamber Orchestra, której był jednym założycieli w roku 2003. Ponadto regularnie koncertuje z Icelandic Opera i Iceland Symphony Orchestra. Współpracuje także z London Sinfonietta, Ulster Orchestra, Nieuw Ensemble, Musica Viatae i Caput Ensemble oraz – jako dyrygent i aranżer otwarty na różne formy muzykowania – Sigur Rós, Amina, Ólöf Arnalds czy Hjaltalín. Wysoko oceniana jest jego twórczość kompozytorska, m.in. w roku 2007 Bjarnason uzyskał nagrodę Icelandic Music Award, a w kolejnym zdobył II nagrodę na konkursie w Dublinie za All sounds to silence come na zespół kameralny.
Jego utwory wykonywane są na całym świecie. Brał udział w projekcie Operagenesis dla młodych kompozytorów organizowanym przez Royal Opera House (Covent Garden) w sezonie 2007/2008. Pisze także muzykę filmowa i teatralną. W 2010 roku światową premierę miał jego debiutancki album Processions, zrealizowany dla firmy Bedroom Community.